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**Noveno Artículo**
El cálculo y el resultado de la raíz cuadrada (cezr) de los números y sus fracciones, y la forma más fácil de extraerlo.
¡Oh, amado! Debe saberse que los eruditos en aritmética han dicho: si el número deseado es pequeño y regular, es fácil obtener su raíz cuadrada. Por ejemplo: la raíz cuadrada de 4 es 2, la raíz cuadrada de 9 es 3, la raíz cuadrada de 16 es 4, la raíz cuadrada de 25 es 5, la raíz cuadrada de 36 es 6, la raíz cuadrada de 49 es 7, la raíz cuadrada de 64 es 8, la raíz cuadrada de 81 es 9 y la raíz cuadrada de 100 es 10. Todos estos son números regulares. Por lo tanto, sus raíces cuadradas también son números enteros. Si el número dado es un número primo cuya raíz cuadrada no es un entero, la forma más fácil de encontrar su raíz cuadrada es la siguiente:
Toma del número primo en cuestión el número entero que puede tener una raíz cuadrada y sustrae esa raíz cuadrada del número para el cual se desea obtener la raíz cuadrada, y divide el número restante por la raíz cuadrada del número cuya raíz cuadrada se puede tomar. Esta división hace que la raíz cuadrada extraída sea aproximadamente la raíz cuadrada de ese número primo.
Por ejemplo, si se desea encontrar la raíz cuadrada de 5, procede así: sustrae de 5 el 4, que es el número regular inmediatamente anterior cuya raíz cuadrada puede obtenerse; queda 1, que es el numerador. Suma al doble de la raíz cuadrada del número 4, que es 2, el número 1 y obtienes ese número obtenido en el denominador. En este caso, la raíz cuadrada de 5 es 2 y un quinto (dos enteros y un quinto).
Para la raíz cuadrada del número 6, el número más cercano cuya raíz cuadrada puede obtenerse es 4. Si lo restas de 6, queda 2, que es el numerador. Suma al doble del número 2, que es la raíz cuadrada de 4, el número 1 y obtienes nuevamente ese número en el denominador. En este caso, la raíz cuadrada de 6 es 2 y dos quintos. Por esta analogía, la raíz cuadrada de 7 es 2 y tres quintos, la raíz cuadrada de 8 es 2 y cuatro quintos.
Porque para estos números primos, el número regular más cercano cuya raíz cuadrada puede obtenerse es 4. Sin embargo, si se desea encontrar la raíz cuadrada de 10, el número más cercano cuya raíz cuadrada puede obtenerse es 9. Si restas 9 de 10, queda 1, que es el numerador. Suma a ese número el doble de la raíz cuadrada de 9 y obtienes 7.
Este número está en el denominador. En este caso, la raíz cuadrada del número 10 es 3 y un séptimo.
Para números mayores que 10, continúa encontrando la raíz cuadrada agregando 1/7 a cada valor numérico. La raíz cuadrada de 15 se encuentra como 3 y seis séptimos [hay cinco números entre 10 y 15. Se agregan cinco más de 1/7; se obtiene 6/7].
Si deseas encontrar la raíz cuadrada del número 16, [agregando un séptimo más], obtendrás 7/7, que es un entero, por lo tanto, la raíz cuadrada del número 16 es 4, que es un entero. Podemos encontrar otros números y sus raíces cuadradas utilizando el mismo método comparándolos con estos.
**Cálculo de fracciones:** Dos números son recíprocos (mütemasil) si no son iguales a 1. Si el número más pequeño se divide completamente por el número más grande, ese número es divisible (mutadakhil) (el número grande es un múltiplo del número pequeño). [436]
Si dos números pueden simplificarse mediante un tercer número, esos dos números son compatibles (mütevafık). [437] El resultado obtenido al dividirlos por este tercer número es la forma más simple de esa fracción.
Si dos números no tienen un factor común aparte de 1, es decir, son primos entre sí (mütabayin), entonces los números son recíprocos. Sin embargo, en otros casos, divides el número mayor por el número menor. [24/b]
Si no hay residuo, estos dos números son divisibles (mutadakhil) (son múltiplos uno del otro). Si hay un residuo como resultado de la operación, entonces continúas con la operación dividiendo el divisor por el número restante hasta que no haya residuo. Estos dos números son compatibles. Si queda 1 como resultado de la operación, estos dos números son primos entre sí.
**Fracciones:** Las fracciones pueden ser regulares (muntak), es decir, los "küsûr-ı tis‘a" mencionados anteriormente, o primas (esamm) que también se denominan partes (cüz). Cada uno de estos puede ser simple (müfred) como 1/3 y 1/11, repetido (mükerrer) como 2/3 y 2/11, compuesto (muzaf) como la mitad de 1/6 y 1/11 de 1/13, o con un sufijo (matuf) como la mitad y 1/3 con 1/11 y 1/13.
Al escribir fracciones mixtas, sigue este método: si hay un número entero, escribe ese número sobre la fracción, el numerador debajo y el denominador arriba.
Si no hay un número entero con la fracción, pon cero en su lugar. En las fracciones con sufijo, escribe "vav (+)" entre ellas; en los números primos compuestos, escribe "min (=)".
Escribe 1 y 2/3 de la siguiente manera:
1
2 (1 2/3)
3
Escribe 1 y 1/3 de la siguiente manera:
1
1 (1 1/3)
3
Escribe 1/3 sin un número entero de la siguiente manera:
0
1 (1/3)
3
Escribe la mitad de 5 en 6 de la siguiente manera:
0
1
2 (1/2 x 5/6)
5
6
Escribe 2/5 y 3/4 de la siguiente manera:
0 0
2
3 (2/5+3/4)
5 4
Escribe 1/13 de 1/11 de la siguiente manera:
1 1
(1/13 x 1/11)
11 13
El denominador de una fracción se denomina también makkam o ümam. Esto forma una fracción a partir del número pequeño. El denominador de una fracción simple es evidente. El denominador de una fracción repetida también es el mismo. Por ejemplo, el denominador de 1 en 4 es 4. El denominador de dos veces 1 en 4 y el denominador de tres veces 1 en 4 son también 4.
El denominador de las fracciones compuestas es igual al producto de sus denominadores. Los denominadores ya sean primos, compatibles o divisibles, se multiplican entre sí. Por ejemplo: el denominador común de 1 en 5 y 1 en 6 es 30. El denominador común de 1 en 6 y 1 en 8 es 48. El denominador común de 1 en 4 y 1 en 8 es 32.
Para las fracciones con sufijo, comparas los dos denominadores. Si son primos entre sí, los multiplicas; si son compatibles, multiplicas uno por la forma simplificada del otro. Si son divisibles, tomas el mayor como denominador. Luego continúas con la operación hasta que las fracciones con sufijo se completen, tomando el resultado de la multiplicación como el denominador de esa fracción.
La regla para encontrar el denominador de "küsûr-ı tis‘a" es la siguiente: multiplica los números 2 y 3 que son primos entre sí; el resultado obtenido se multiplica por la mitad de 4, que es compatible con 6; el resultado resultante, 12, se multiplica por 5, que es primo con él. 60 es un divisor completo del resultado final.
En este caso, al obtener el resultado con la cifra que sale, te conformas con él y, dado que este número es divisible por 7, lo multiplicas por él; luego, como el resultado obtenido (420) es divisible por 8, lo multiplicas por un cuarto de 8. De nuevo, como el resultado (840) es divisible por 9, lo multiplicas por un tercio de 9. En cuanto al 10, dado que es un divisor exacto del resultado, no realizas ninguna operación; el producto de 3 y 840, que es 2520, será el denominador de esta "fracción impía".
*Tecnis*
El *Tecnis* es convertir una fracción mixta en una fracción compuesta. El método para hacerlo es: multiplicas la parte “entera” de la fracción mixta por el denominador de la fracción; sumas el resultado obtenido al numerador. El resultado que obtengas será el denominador de la fracción compuesta. Por ejemplo: la fracción 9/1 es la fracción compuesta equivalente a 2 enteros y un cuarto (2 ¼). La fracción 33/5 es la fracción compuesta equivalente a 6 enteros y tres quintos (6 ¾). La fracción 85/21 es la fracción compuesta equivalente a 4 enteros y un tercio de un séptimo (4 1/3). [440]
*Ref‘*
El *Ref‘* es convertir fracciones en números enteros. El método para hacerlo es: divides el número del numerador por el número del denominador; el cociente será la parte entera de la fracción mixta. Si hay un residuo, éste será el numerador. Por ejemplo: el *ref‘* de 15/4 es 3 enteros y tres cuartos (3 ¾).
Fracciones: Suma y Doble
El método para sumar y doblar es el siguiente: se encuentra el denominador común a las fracciones que se van a sumar y a cuyo doble se va a obtener; los numeradores se dividen por este denominador común. Si los numeradores son mayores que el denominador, el cociente será la parte entera del resultado. La división del residuo por el denominador común será la parte fraccionaria del resultado.
Si los numeradores son menores que el denominador común, se les convierte en proporciones del denominador común. Si los numeradores son iguales al denominador común, el resultado es 1.
Ejemplo:
– Al sumar 1/2, 1/3 y 1/4, obtenemos la mitad de un entero y un doceavo (1 ½).
– La suma de 1/6 y 1/3 es media unidad (½).
– La suma de 1/2, 1/3 y 1/6 es 1.
– El doble de 3/5 es 1 entero y un quinto (1 1/5).
Dividir Fracciones (tansîf-i küsûr)
Si los numeradores de las fracciones son números pares, se dividen por dos. Si son impares, se multiplica el denominador por dos y se pone el numerador en proporción a él; esto es bien conocido.
Sustracción de Fracciones (tefrîk-i küsûr)
Se encuentra el denominador común a los dos numeradores y se resta uno del otro. Se expresa el resultado como una fracción sobre el denominador común.
Por ejemplo, si restas 1/4 a 1/3, obtienes la mitad de un entero y un doceavo (½). Esto es porque el denominador común es 12. De este número 12, un cuarto es 3 y un tercio es 4. Al restar 3 a 4 queda 1. Esta 1 es la mitad de un entero y un doceavo (½).
Multiplicación de Fracciones (darb-ı küsûr)
La multiplicación de fracciones se realiza de la siguiente manera: si una fracción mixta o una fracción sin parte entera se multiplica por un número entero, la fracción mixta se convierte en una fracción compuesta; se multiplican el número entero y el numerador de esta fracción compuesta. Si el producto es mayor o igual que el denominador de la fracción, el resultado se divide por el denominador de la fracción; si no, se expresa el resultado como una proporción del denominador.
Por ejemplo, si 2 enteros y tres quintos (2 ¾) se multiplican por 4, se obtiene 52; este número se divide por el denominador de la fracción, que es 5. El resultado de la multiplicación es 10 enteros y dos quintos (10 ¼).
Otro ejemplo: si multiplicamos 3/4 por 7, obtenemos 21. Este número se divide por el denominador de la fracción, que es 4; el resultado es 5 enteros y un cuarto (5 ¼).
Si ambos números a multiplicar son fracciones o uno de ellos es un número entero o ninguno de ellos es una fracción mixta (una fracción convertida en una fracción compuesta), se multiplican los numeradores entre sí o se multiplica el numerador de la fracción convertida en una fracción compuesta por el numerador de la fracción sin parte entera o se multiplican los numeradores de las fracciones sin parte entera. Este es el primer resultado. Luego, se multiplican los denominadores; este es el segundo resultado. Entonces, se divide el primer resultado (el resultado obtenido de la multiplicación de los numeradores) entre el segundo (el resultado obtenido de la multiplicación de los denominadores). Si el primero es mayor que el segundo, se divide el numerador por el denominador; si el segundo es menor que el primero, el resultado es el resultado deseado.
Ejemplo: Se multiplican 2 enteros y un medio (2 ½) por 3 enteros y un tercio (3 1/3); se obtiene 8 enteros y un tercio (8 1/3).
Se multiplican 2 enteros y un cuarto (2 ¼) por 5/6; se obtiene 1 entero y siete octavos (1 7/8).
Se multiplican 3/4 por 5/7; se obtiene una mitad y un séptimo de un cuarto.
División de Fracciones (kısmet-i küsûr)
La división tiene ocho tipos. El dividendo es ya un número entero, o una fracción, o una fracción mixta; el divisor también puede ser un número entero, una fracción o una fracción mixta. Se pueden realizar nueve clases de operaciones de división con estos. Excluyendo la operación de dividir un número entero por un número entero, quedan ocho clases de divisiones.
La operación de división es la siguiente: si tanto el dividendo como el divisor son fracciones, se multiplican ambos por el denominador común. Si uno es una fracción y el otro es un número entero, se multiplica el dividendo y el divisor por el denominador de la fracción existente; luego, si el resultado es mayor, se dividen los productos entre sí; si es menor, se expresa el resultado como una proporción del divisor.
Si dividimos 5 enteros y un cuarto (5 ¼) entre 3, obtenemos 1 entero y tres cuartos (1 ¾). Si intentamos dividir 3 por 5 enteros y un cuarto (5 ¼), el resultado es 4/7. Si dividimos 2/6 entre 1/6, obtenemos 2. Como los demás ejemplos pueden ser comprendidos comparándolos con estos, nos limitaremos a estos pocos ejemplos.