BİRİNCİ FEN · BİRİNCİ BÂB · ÜÇÜNCÜ FASIL · Onuncu Madde
## Traducción al Español:
Décimo Artículo
Describe la forma más fácil de encontrar un número desconocido.
¡Oh, amado! Debe saberse que los sabios en aritmética han dicho: para poder hallar el número desconocido, la regla de la proporción armónica es un método completo y sólido, útil y apropiado; su beneficio es grande, sin errores, certero y es la esencia de esta operación.
Porque todos los problemas con incógnitas pueden ser resueltos mediante la regla de la proporción armónica. La proporción armónica es aquella en la que cuatro números están tales que la razón del primero al segundo es igual a la razón del tercero al cuarto. En esta proporción, el producto de los dos términos "internos" debe ser igual al producto de los dos términos "externos".
Si uno de los términos internos es desconocido, divides el producto de los dos términos externos entre el término interno conocido. El resultado es el término interno desconocido.
Si uno de los términos externos es desconocido, divides el producto de los dos términos internos entre el término externo conocido. El resultado es el término externo desconocido. Por ejemplo, sean nuestros cuatro números en proporción armónica 2, 4, 3 y 6. Aquí, la razón del 2 al 4 es igual a la razón del 3 al 6. El producto de los términos internos (2 por 6) es igual al producto de los términos externos (3 por 4). Si uno de estos cuatro números fuera desconocido, el número desconocido podría encontrarse a partir de los otros tres números.
Si en el ejemplo dado el número desconocido fuera un término interno, digamos el 2, multiplicarías los términos externos, 3 y 4; dividirías el resultado obtenido (12) entre el término interno conocido (6), y obtendrías el número desconocido, que es el 2.
Si el término interno 6 fuera desconocido, primero dividirías el resultado por el término interno conocido, el 2; así obtendrías el número desconocido, el 6. Si el término externo 4 fuera desconocido, multiplicarías los términos internos, 2 y 6, para obtener 12, y luego dividirías este resultado entre el término externo conocido, el 3; esto daría como resultado el número desconocido, el 4. Si el término externo 3 fuera desconocido, dividirías el resultado de la multiplicación anterior entre el término externo conocido, el 4; esto daría como resultado el número desconocido, el 3. Este es el método de la proporción armónica utilizando la operación de multiplicación.
El método de la proporción armónica usando la operación de división es el siguiente: Si uno de los términos externos fuera desconocido, dividirías uno de los términos internos entre el término externo conocido y multiplicarías el resultado obtenido por el otro término interno. Este resultado daría el término externo desconocido. Si uno de los términos internos fuera desconocido, dividirías uno de los términos externos entre el término interno conocido y multiplicarías el resultado obtenido por el otro término externo. Este resultado sería el término interno desconocido. Por ejemplo: la razón del 2 al 3 es igual a la razón del 6 al 9 [26/a].
Si el término externo 6 fuera desconocido, dividirías uno de los términos internos, digamos el 9, entre el término externo conocido, el 3, y multiplicarías el resultado por el otro término interno, el 2. El resultado sería el término externo desconocido, el 6. Si el término interno 9 fuera desconocido, dividirías uno de los términos externos, el 6, entre el término interno conocido, el 2, y multiplicarías el resultado por el otro término externo, el 3. Esto daría como resultado el número desconocido, el 9.
Si el número desconocido fuera un término interno, digamos el 2, ya que el dividendo es menor que el divisor, tomarías la fracción (3/9) resultante de dividir 3 entre 9. Multiplicarías el resultado, que es 1/3, por 6. El resultado sería el número desconocido, el 2. Si el término externo 3 fuera desconocido, dividirías 9 entre 6, obteniendo 1 y 1/2, y multiplicarías este resultado por 2. Esto daría como resultado el número desconocido, el 3.
**Recordatorio:**
Esta operación puede utilizarse en aumentos, disminuciones, intercambios, sumas o multiplicaciones.
Ejemplo de la operación de aumento: Si se preguntara "¿A qué número hay que añadirle 1/4 para obtener 3?", la respuesta a esta operación sería la siguiente: La fracción tiene un denominador de 4. Este número se toma como base y se le denomina "me'haz". Sobre él se realiza la operación. Es decir, si se ha dicho aumentar, se aumenta; si se ha dicho disminuir, se disminuye. El número obtenido se denomina "vasita". En este caso hay tres números conocidos: uno es el "me'haz", otro es el "vasita" y otro es el número conocido dado por quien hace la pregunta, al que también se le denomina "mâlum".
Porque la razón del "me'haz" al "vasita" es igual a la razón del desconocido al "mâlum". Por lo tanto, multiplicas el "me'haz" por el "mâlum" y divides el resultado obtenido entre el "vasita". El resultado obtenido es 2 y 2/5, que es el número que se busca [441].
Ejemplo de la operación de disminución: Si se preguntara "¿Qué número hay que restarle 1/3 para obtener 6?", la respuesta a esta operación sería la siguiente: Para encontrar la respuesta a esta pregunta, utilizarías el método explicado anteriormente. Hay tres números conocidos: uno es el "me'haz", que es 3', otro es el "vasita", que es 2, y otro es el "mâlum", que es 6. La razón del 3' al 2 es igual a la razón del desconocido al 6. Dividirías 18, que es el producto de los términos internos, entre el "vasita", que es 2. El resultado sería el número desconocido, el 9.
En cuanto a las operaciones de intercambio: Si 5 rulos cuestan 3 dracmas, ¿cuánto costarán 2 rulos?
5 rulos son "müse‘‘ar", 3 dracmas son "si‘r", 2 rulos son "müsemmen" y lo que se busca es el "semen". La razón del "müse‘‘ar" al "si‘r" es igual a la razón del "müsemmen" al "semen". Por lo tanto, el cuarto término (el "semen") es desconocido. Dividirías 6, que es el producto de los dos términos externos, entre el primer término ("müse‘‘ar"). Esto daría el resultado.
Si en la pregunta "¿Cuánto cuestan 2 rulos?" se respondiera "¿A cuántos rulos corresponde 2 dracmas?", dividirías 10, que es el producto de los términos internos, entre el segundo término (el "si’r"), que es 3. De esta manera se encontraría el número desconocido. En la segunda pregunta también se procede de forma similar, multiplicando por un valor diferente y dividiendo por su propio valor.
En cuanto a la operación de suma: [26/b] Si la tercera parte de un número más la cuarta parte de ese mismo número suman diez, ¿cuál es el número?
En este tipo de preguntas, se encuentra el denominador común y se le denomina "me'haz" y luego se procede según la forma de la pregunta. En este caso hay tres números conocidos: uno es el "me'haz", otro es el "vasita" y otro es el "mâlum" dado por quien hace la pregunta.
Porque la razón del "me'haz" al "vasita" es igual a la razón del desconocido al "mâlum". Por lo tanto, dividirías 12, que es el "me'haz", entre 10, que es el "mâlum", y dividirías el resultado obtenido (120) entre el "vasita", que es 7, o sea, la suma de la cuarta parte y la tercera parte. El resultado sería 17 y 1/7, que es el número buscado.
En cuanto a la operación de multiplicación: Si la cuarta parte de un número se multiplica por su sexta parte, este número resulta ser el doble de sí mismo, ¿cuál es ese número? En este caso, la razón del "me'haz" al "vasita" es…
bilinmeyenin manifestación es como la proporción de lo desconocido a lo conocido. Multiplica 12 por el doble de lo conocido, que es 24, para obtener 288, luego divide este número por el medio, que es 6 (la multiplicación de un sexto de 12 y un cuarto), y obtendrás 48. Este número resultante es la respuesta a la pregunta.
El método de proporcionalidad cuádruple para encontrar lo desconocido es el siguiente: si hay tres números proporcionales, la razón de la primera al segundo es igual a la razón de la segunda al tercero. Si uno de estos lados es desconocido, eleva al cuadrado los externos y divídelos por el interno; el desconocido se encuentra dentro.
Si el medio es desconocido, multiplica los internos y toma la raíz cuadrada del resultado; el externo desconocido se obtiene. Por ejemplo, si se dice: "La razón de 2 a 5 es igual a la razón de 5 a qué número?", divides al cuadrado de 5 entre 2. El resultado que obtienes es 12.5.
O, si se dice: "La razón de 4 a qué número es igual a la razón de ese número a 9?", tomas la raíz cuadrada del producto de los internos, que es 36. Así encuentras 6, que es el número buscado.
Hasta aquí hemos resumido información básica sobre aritmética, que facilita el aprendizaje de la astronomía (ilm-i hey’et), ciencia que ayuda en el conocimiento de Dios (ma’rifetullah). Ahora es oportuno hablar de geometría (hendese), que constituye el comienzo de la ciencia de la astronomía.
[432] .
Verificación:
Valor posicional de los números sumados:
(3+7+3+2+3+1+8+7+3+5+1+4=47), 5×9=45, 47-45=2 El valor posicional del número resultante: (7+6+2+5=20), 2×9= 18, 20-18= 2
[433] . 8730313, (8+7+3+0+3+1+3= 25, 2×9=18, 25-18=7
4365156,5, (4+3+6+5+1+5+6= 30, 3X9=27, 30-27=3, 3+0,5=3,5,
2×3,5=7
Verificación: 7 /7
[434] .En esta tabla, los números en la diagonal de dos a nueve se multiplican por los números escritos verticalmente de dos a nueve a la derecha. Por ejemplo, para encontrar el producto de cinco y siete, desciende desde el número cinco en la diagonal. Identifica el número siete de los números verticales derechos y muévete hacia la izquierda en su alineación; encontrarás el dígito 35, que es el resultado de la multiplicación.
En esta tabla solo hay productos de un número consigo mismo y con números mayores que él; nada más. Por ejemplo, seis por seis, seis por siete, y así sucesivamente. No hay números superiores a estos. En cambio, hay cuatro por seis, cinco por seis, y así sucesivamente.
[435] .Ejemplo: La aplicación de lo anterior en cifras es la siguiente:
14 x 25 = (10 + 4) x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 + 4 x 20 + 4 x 5 = 200 + 50 + 80 + 20 = 350
[436] .Por ejemplo, tres con seis, cuatro con doce, seis con sesenta son números consecutivos.
[437] .Por ejemplo, cuatro con seis, seis con nueve, ocho con doce y diez con veinticinco son números compatibles.
[438] .Por ejemplo, 6 con 25, 12 con 35 son distintos.
[439] ."y 1/13’ün 1/11’i gibi muzaf’tır” (como si fuera agregado como 1/13 de 1/11) esta frase no está en la copia manuscrita.
[440] . El producto de 1/7 con 1/3 es 1/27; 4 1/21=85/21
[441] . 4/5=x/3; 5x=12; x= 2 2/5
Si dos números no tienen un divisor común aparte de 1, es decir, son primos entre sí, estos dos números son distintos. Los números comúnes son evidentes. En los demás, divides el número mayor por el menor. [24/b]
Tecnis es convertir una fracción mixta en una fracción impropia. La forma de hacerlo es multiplicar la "parte entera" de la fracción mixta por el denominador de la fracción; suma el resultado al numerador. El resultado es el denominador de la fracción impropia. Por ejemplo: la parte numerada de 2 enteros y 1/4 es 9. La parte numerada de 6 enteros y 3/5 es 33. La parte numerada de 4 enteros y 1/7 es 85.
El segundo y tercer método para multiplicar: el número compuesto se escribe en términos de números primos y se recurre al primer método para realizar la operación. Multiplica los números primos entre sí y suma los resultados. En el segundo método, si por ejemplo tienes que multiplicar 6 por 54 o 20 por 64, para la primera operación multiplicas 6 por cada uno de ellos por separado y sumas los dos productos. Esto da 324. Para la segunda operación: multiplicas 20 por cada uno de estos por separado y sumas los dos productos. Así obtienes 1280. Según el tercer método, si quieres multiplicar 14 por 25, primero multiplicas 4 por 5, luego por 20, luego 10 por 5, luego por 20. Sumas los resultados; esto da 350. [23/a]
Si dos números pueden simplificarse por un tercer número, se les llama números compatibles. Al dividirlos por este tercer número, el resultado es la forma más simple de esta fracción.
Porque la razón del "me'haz" al "medio" es igual a la razón del tercero al "manifestación" (mâlum). Por lo tanto, multiplicas el "me'haz" por el "manifestación" y divides el resultado obtenido por el "medio". El resultado que obtienes es 2 enteros y 2/5, que es lo que se busca en nuestro ejemplo.
Tercero: multiplicar números compuestos con otros números compuestos.
Si se desliza desde la rodilla hacia la izquierda, el número treinta y cinco, que es el resultado de la multiplicación,
se encuentra.
En esta tabla, un número solo tiene multiplicaciones consigo mismo y con números mayores que él; nada más. Por ejemplo, seis por seis, seis por siete y similares. Y hay superiores a estos. Seis por cinco, seis por cuatro y no hay inferiores a estos. En contraste, cuatro por seis, cinco por seis existen.
. 8730313, (8+7+3+0+3+1+3= 25, 2×9=18, 25-18=7
4365156,5, (4+3+6+5+1+5+6= 30, 3X9=27, 30-27=3, 3+0,5=3,5,
2×3,5=7
Comprobación: 7 /7
.Por ejemplo, 6 con 25 y 12 con 35 son opuestos.
.Por ejemplo, cuatro con seis, seis con nueve, ocho con doce y diez con veinticinco son números concordantes.
. Por ejemplo, tres con seis, cuatro con doce, seis con sesenta son números incluidos.
.Ejemplo: La aplicación de lo anterior con números es la siguiente:
14 x 25 = (10 + 4) x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 + 4 x 20 + 4 x 5 = 200 +
50 + 80 + 20 = 350
.
Comprobación:
El valor numérico de los
números que se suman:
(3+7+3+2+3+1+8+7+3+5+1+4=47), 5×9=45, 47-45=2 El valor numérico del número resultante: (7+6+2+5=20), 2×9= 18, 20-18= 2
4365156,5 Comprobación 7/7
Cálculo de números fraccionarios: Si dos números distintos de uno son iguales entre sí, se les llama mutuamente compatibles. Si el número más pequeño de dos números divide exactamente al número mayor, ese número está incluido (el número mayor es un múltiplo exacto del número menor).