BİRİNCİ FEN · BİRİNCİ BÂB · ÜÇÜNCÜ FASIL · Onuncu Madde
Onuncu Madde
Bilinmeyen sayıyı bulmanın en kolay yolunu bildirir.
Ey azîz! Bilinmelidir ki aritmetik bilginleri şöyle demişlerdir: Bilinmeyen
sayıyı bulabilmek için dörtlü orantılı kuralı, kapsamlı ve sağlam, kullanışlı
ve uygun bir metot olup faydası çok, hatasız, isâbetli ve bu işlemin özüdür.
Çünkü bilinmeyenli problemlerin tamamının dörtlü orantılı kuralı ile
çözülmesi mümkündür. Dörtlü orantı öyle dört sayıdır ki birinci sayının
ikinciye oranı, üçüncünün dördüncüye oranına eşittir. Bu orantıda iki “iç”in
çarpımının iki “dış”ın çarpımına eşit olması gerekir.
Eğer “iç”lerden biri bilinmiyorsa, iki “dış”ın çarpımını bilinen “iç”e
bölersin. Sonuç, bilinmeyen sayı olan “iç”tir.
Eğer iki “dış”ın birisi bilinmiyorsa, iki “iç”in çarpımı bilinen “dış”a
bölersin. Sonuç, bilinmeyen sayı olan “dış”tır. Mesela dört orantılı sayımız
2, 4, 3 ve 6 olsun. Burada 2’nin 4’e oranı, 3’ün 6’ya oranına eşittir.
(İçlerden) 2’nin 6’ya çarpımı, (dışlardan) 3’ün 4’e çarpımına eşittir. Eğer bu
dört sayıdan biri bilinmezse, diğer üç sayıdan bilinmeyen sayı bulunabilir.
Eğer verilen örnekte bilinmeyen sayı içlerden 2 ise, dışlar olan 3 ve 4’ü
çarparsın; elde edilen 12’yi bilinen “iç” olan 6’ya bölersin, bilinmeyen sayı
olan 2 bulunmuş olur.
Eğer “iç”lerden 6 bilinmiyorsa, önce çıkan sonucu içlerdeki bilinen 2’ye
bölersin; bilinmeyen sayı olan 6’yı elde edersin. Eğer dışlardan olan 4
bilinmiyorsa, içlerden olan 2 ve 6’yı çarpıp çıkan 12’yi bilinen dış olan 3’e
bölersin; bu sonuç bilinmeyen 4’ü verir. Eğer dışlardan olan 3 bilinmeyen
ise, önceki çarpımın sonucunu bilinen dış olan 4’e bölersin; bu sonuç
bilinmeyen 3’ü verir. Bu, dörtlü orantılı metodunun çarpma işlemi ile
yapılan yöntemidir.
Dörtlü orantılı metodun bölme ile yapılan işleminin yöntemi şöyledir: İki
dış’ın biri bilinmese, iki iç’ten birini bilinen dış’a bölüp çıkan sonucu diğer
iç’e çarparsın. Bu sonuç bilinmeyen dış’ı verir. Eğer iki içlerin biri
bilinmese, iki dış’tan birini bilinen iç’e bölüp çıkan sonucu diğer dış’a
çarparsın. Bu sonuç, bilinmeyen iç’tir. Mesela: 2’nin 3’e oranı, [26/a] 6’nın
9’a oranına eşittir.
Eğer dış’lardan olan 6 bilinmeyen olsa, iç’lerden biri olan 9’u bilinen dış
olan 3’e bölüp çıkan sonuç diğer iç olan 2’ye çarparsın. Sonuç, bilinmeyen
dış olan 6’yı verir. Eğer iç’lerden olan 9 bilinmeyen ise, dış’lardan biri olan
6’yı bilinen iç olan 2’ye bölüp sonucu diğer dış olan 3’e çarparsın. Sonuç,
bilinmeyen 9’u verir.
Eğer (içlerden) bilinmeyen sayı 2 olsa, bölünen bölenden küçük olduğu
için 3’ün 9’a bölümü olarak kesirli sayıyı (3 bölü 9) alırsın. Sonuç olan 1
bölü 3’ü 6’ya çarparsın. Sonuç, bilinmeyen 2’yi verir. Eğer (dışlardan) 3
bilinmese, 9’u 6’ya bölüp sonuç olan 1 tam 1 bölü 2’yi 2’ye çarparsın.
Sonuç, bilinmeyen 3 sayısını verir.
Hatırlatma
Bu işlem, artırma, eksiltme, alışveriş işlemleri, toplama veya çarpmada
kullanılabilir.
Artırmaya Dair İşlemin Örneği: Eğer “Hangi sayının üzerine 1 bölü 4’ü
eklense 3 olur?” diye sorulsa, bu işlemin cevabı şudur: Kesrin paydası 4’tür.
Bu sayı esas alınıp bu sayıya “me’haz” denilir. Bunun üzerinde işlem
yaparsın. Yani soruda artırma denilmişse artırırsın, eksiltme denilmişse
eksiltirsin. Elde edilen sayıya “vasıta” denilir. Bu durumda üç bilinen
vardır. Biri “me’haz”, biri “vasıta” biri de soruyu soranın verdiği bilinen
sayıya da “mâlum” denir.
Çünkü “me’haz” olan sayının “vasıta”ya olan oranı üçüncü olan
bilinmeyenin dördüncü olan “mâlum”a oranına eşittir. Öyle ise “me’haz”ı
“mâlum”a çarpıp elde edilen sonucu “vasıta”ya bölersin. Elde edilen sonuç,
örneğimizde bulunması istenen 2 tam 2 bölü 5’tir. [441]
Eksiltmeye Dair İşlem Örneği: Eğer “Hangi sayının kendisinden 1 bölü
3’ü çıkarılsa 6 olur?” diye sorulsa, bu işlemin cevabı şöyledir: Bu sorunun
cevabını bulmak için yukarıda açıklanan yöntemi kullanırsan üç bilinen
vardır. Biri “me’haz” olan 3’, biri “vasıta” olan 2’dir, biri de “mâlum” olan
6’dır. 3’ün 2’ye oranı, bilinmeyenin 6’ya oranına eşittir. İçlerin birbiriyle
çarpımı olan 18’i “vasıta” olan 2’ye bölersin. Sonuç, bilinmeyen 9’u verir.
Alışveriş işlemlerine dair olan işlem: 5 rıtl’ın fiyatı 3 dirhem olursa, 2
rıtl’ın fiyatı kaç dirhem eder?
5 rıtl “müse‘‘ar”, 3 dirhem “si‘r”, 2 rıtl “müsemmen” ve istenen ise
“semen”dir. Müse‘‘arın si‘re oranı, müsemmenin semene oranına eşittir.
Buna göre bilinmeyen dördüncü (semen)dür. İki dışın çarpımı olan 6’yı ilk
terim (müse‘‘ar)e bölersin; sonuç bulunur.
Eğer “2 rıtlın fiyatı kaçtır?” sorusunun karşılığı olarak, “2 dirheme kaç rıtl
gelir?” denilse, içlerin çarpımı olan 10’u, ikinci terim olan (si’r) 3’e
bölersin. Bu şekilde bilinmeyen bulunmuş olur. İkinci soruda da benzer
şekilde farklı cinsle çarpılıp bulunan sonuç kendi cinsine bölünür.
Toplamaya dair olan işlem: [26/b] Hangi sayının 3’te 1’i ile 4’te 1’nin
toplamı on eder?
Bunun gibi sorularda işlem şöyledir: Ortak paydayı bulup buna “me’haz”
deyip sorunun şekline göre işlem yaparsın. Bu durumda üç bilinen olur; biri
“me’haz”ı, diğeri “vasıta’yı bir diğeri ise soruyu soranın verdiği
“mâlum”dur.
Çünkü me’hazın vasıta’ya oranı, bilinmeyenin mâlum’a oranına eşittir.
Öyle ise 12 olan me’hazı 10 olan mâlum’a çarpıp 120 olan sonucu vasıta
olan 7’ye, yani 12’nin 4’te 1’i ile 3’te 1’inin toplamına bölersin. Sonuç 17
tam 1 bölü 7 olur ki aranılan sonuç bulunmuş olur.
Çarpmaya dair olan işlem: Hangi sayının 4’te 1’i 6’da 1’ine çarpılsa bu
sayı kendisinin iki katı olur? Bu durumda me’hazın vasıta’ya oranı,
bilinmeyenin mâlum’a oranı gibidir. 12’yi, mâlum olan iki katı yani 24’e
çarpıp elde edilen 288’i vasıta olan 6’ya (yani 12’nin 1 bölü 6’sı ile 1 bölü
4’ünün çarpımı) bölersin, sonuç 48 olur. Bu çıkan sayı, sorunun cevabıdır.
Dörtlü orantılı metoduyla bilinmeyeni bulmanın yolu şudur ki: Üç orantılı
sayı olsa, birincinin ikinciye oranı, ikincinin üçüncüye oranına eşittir. Eğer
iki tarafın biri bilinmeyen olsa, dışların karesini, bilinen içe bölersin;
bilinmeyen iç bulunur.
Eğer vasıta bilinmeyen olursa, içlerden birini diğerine çarpıp sonucun
karekökünü alırsın; bilinmeyen dış elde edilir. Mesela “2’nin 5’e oranı, 5’in
hangi rakama oranına eşittir?” denilse, 5’in karesini 2’ye bölersin. Sonuç
12.5 olarak bulunmuş olur.
Yahut da “4’ün hangi sayıya oranı o sayının 9’a oranı gibidir?” denilse,
iki içlerin çarpımı olan 36’nın karekökünü alırsın. Böylece 6’yı bulmuş
olursun ki bulunması istenen sayı budur.
Buraya kadar yazmış olduğumuz özet bilgilerle, Allah’ı tanımada
(ma’rifetullah) yardımcı olan astronomi ilminin (ilm-i hey’et) öğrenilmesini
kolaylaştıran aritmetik ilmine dair temel bilgileri bu miktar aktarmakla
iktifâ edip buradan itibaren astronomi ilminin başlangıcını teşkil eden
geometri ilminden (hendese) söz etmemizin sırası gelmiştir.
[432] .
Sağlama:
Toplanan
sayıların
rakamsal
değeri:
(3+7+3+2+3+1+8+7+3+5+1+4=47), 5×9=45, 47-45=2 Sonuçtaki sayının
rakamsal değeri: (7+6+2+5=20), 2×9= 18, 20-18= 2
[433] . 8730313, (8+7+3+0+3+1+3= 25, 2×9=18, 25-18=7
4365156,5, (4+3+6+5+1+5+6= 30, 3X9=27, 30-27=3, 3+0,5=3,5,
2×3,5=7
Sağlama: 7 /7
[434] .Bu tabloda köşegen durumundaki ikiden dokuza kadar olan sayılar,
sağda düşey durumdaki ikiden dokuza kadar yazılmış sayılarla çarpılır.
Mesela beş ile yedinin çarpımını bulmak için, köşegen üzerindeki beş
sayısından aşağı inilir. Sağdaki düşey sayılardan yedi sayısı tespit edilip
onun hizasından sola doğru kayılırsa, çarpımın sonucu olan otuz beş rakamı
bulunmuş olur.
Bu cetvelde bir sayının yalnız kendisine eşit ve büyük sayılarla çarpımları
vardır; başka değil. Mesela altı kere altı, altı kere yedi ve benzeri gibi. Ve
bunlardan yukarısı vardır. Altı kere beş, altı kere dört ve daha aşağısı
yoktur. Buna karşılık, dört kere altı, beş kere altı vardır.
[435] .Örnek: Yukarıda anlatılanların rakamlarla uygulanışı şöyledir:
14 x 25 = (10 + 4) x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 + 4 x 20 + 4 x 5 = 200 +
50 + 80 + 20 = 350
[436] . Mesela üç ile altı, dört ile on iki, altı ile altmış, mütedahil
sayılardır.
[437] .Mesela dört ile altı, altı ile dokuz, sekiz ile on iki ve on ile yirmi
beş sayıları mütevafık sayılardır.
[438] .Mesela 6 ile 25, 12 ile 35 mütebayin’dir.
[439] . “ve 1/13’ün 1/11’i gibi muzaf’tır” cümlesi yazma nüshada yoktur.
[440] . 1/7 ile 1/3’ün çarpımı 1/27’dir; 4 1/21=85/21
[441] . 4/5=x/3; 5x=12; x= 2 2/5
İki sayının 1’in dışında ortak böleni yoksa yani aralarında asal ise bu iki
sayı mütebayin’ dir. Mütemasil olan sayılar âşikârdır. Ancak diğerlerinde
büyük sayıyı küçük sayıya bölersin. [24/b]
Tecnis, tam sayılı kesri bileşik sayılı kesre çevirmektir. Bunun yolu şudur:
Tam sayılı kesrin “tam”ını kesrin paydası ile [25/a] çarparsın; elde edilen
sonuca payı eklersin. Bulduğun sonuç bileşik kesrin paydası olur. Mesela: 2
tam 1 bölü 4’ün payı 9’dur. 6 tam 3 bölü 5’in payı 33’tür. 4 tam ile 1 bölü
7’nin 1 bölü 3’ünün payı 85’tir.
İkinci ve üçüncü yöntemlerle çarpma işlemi: Mürekkeb sayı müfred
sayılar cinsinden yazılır ve işlemi yapmak için birinci yola başvurulur.
Müfred sayıları birbirleriyle çarpıp sonuçları toplarsın. İkinci yöntemde ise,
örneğin 6’yı 54 ile veya 20’yi 64 ile çarpmak gerekse, ilk işlem için 6’yı her
biriyle ayrı ayrı çarpıp elde edilen iki çarpımı toplarsın. 324 olur. İkinci
işlem için: 20’yi bunlardan her biriyle ayrı ayrı çarpıp iki çarpımı toplarsın.
Böylece 1280 olur. Üçüncü yönteme göre 14’ü 25 ile çarpmak istersen, ilk
önce 4’ü 5 ile, sonra 20 ile çarpıp sonra 10’u 5 ile, ondan sonra 20 ile
çarparsın. Sonucu toplarsın, 350 olur. [23/a]
Eğer iki sayıyı üçüncü bir sayı sadeleştirebiliyorsa bu iki sayıya
mütevafık sayılar denir. Bu üçüncü sayıya bölününce çıkan sonuç, bu kesrin
en sâde biçimidir.
Çünkü “me’haz” olan sayının “vasıta”ya olan oranı üçüncü olan
bilinmeyenin dördüncü olan “mâlum”a oranına eşittir. Öyle ise “me’haz”ı
“mâlum”a çarpıp elde edilen sonucu “vasıta”ya bölersin. Elde edilen sonuç,
örneğimizde bulunması istenen 2 tam 2 bölü 5’tir.
Üçüncüsü: Mürekkeb sayıları yine mürekkeb sayılarla çarpmaktır.
Bunlardan birincisinin yolu üç türlüdür: İlki, birler basamağı ile birler
basamağını çarpmaktır ki bu işlem çarpım tablosunda görülmektedir.
Kesir ya muntaktır, yani daha önce anlatılan “küsûr-ı tis‘a”dır veya
esammdır ki buna cüz’ de denilir. Bu ikisinden her biri ya 1/3 ve 1/11 gibi
müfreddir ya 2/3 ve 2/11 gibi mükerrerdir veya 1/6’nın yarısı ve 1/13’ün
1/11’i gibi muzaftır ya da yarım ve 1/3 ile 1/11 ve 1/13 gibi matuftur. Tam
sayılı kesirleri yazarken şu yolu takip edersin:
Sağlaması: 2/2
. 4/5=x/3; 5x=12; x= 2 2/5
. 1/7 ile 1/3’ün çarpımı 1/27’dir; 4 1/21=85/21
. “ve 1/13’ün 1/11’i gibi muzaf’tır” cümlesi yazma nüshada yoktur.
.Bu tabloda köşegen durumundaki ikiden dokuza kadar olan sayılar, sağda
düşey durumdaki ikiden dokuza kadar yazılmış sayılarla çarpılır. Mesela
beş ile yedinin çarpımını bulmak için, köşegen üzerindeki beş sayısından
aşağı inilir. Sağdaki düşey sayılardan yedi sayısı tespit edilip onun
hizasından sola doğru kayılırsa, çarpımın sonucu olan otuz beş rakamı
bulunmuş olur.
Bu cetvelde bir sayının yalnız kendisine eşit ve büyük sayılarla çarpımları
vardır; başka değil. Mesela altı kere altı, altı kere yedi ve benzeri gibi. Ve
bunlardan yukarısı vardır. Altı kere beş, altı kere dört ve daha aşağısı
yoktur. Buna karşılık, dört kere altı, beş kere altı vardır.
. 8730313, (8+7+3+0+3+1+3= 25, 2×9=18, 25-18=7
4365156,5, (4+3+6+5+1+5+6= 30, 3X9=27, 30-27=3, 3+0,5=3,5,
2×3,5=7
Sağlama: 7 /7
.Mesela 6 ile 25, 12 ile 35 mütebayin’dir.
.Mesela dört ile altı, altı ile dokuz, sekiz ile on iki ve on ile yirmi beş
sayıları mütevafık sayılardır.
. Mesela üç ile altı, dört ile on iki, altı ile altmış, mütedahil sayılardır.
.Örnek: Yukarıda anlatılanların rakamlarla uygulanışı şöyledir:
14 x 25 = (10 + 4) x (20 + 5) = 10 x 20 + 10 x 5 + 4 x 20 + 4 x 5 = 200 +
50 + 80 + 20 = 350
.
Sağlama:
Toplanan
sayıların
rakamsal
değeri:
(3+7+3+2+3+1+8+7+3+5+1+4=47), 5×9=45, 47-45=2 Sonuçtaki sayının
rakamsal değeri: (7+6+2+5=20), 2×9= 18, 20-18= 2
4365156,5 Sağlaması 7/7
Kesirli sayıların hesaplanması: 1’in dışında olan iki sayı birbirine eşitse
buna mütemasil denir. Eğer iki sayıdan küçük olanı büyük olanı tam
bölüyorsa bu sayı mütedahildir (büyük sayı küçük sayının tam katı).