BİRİNCİ FEN · BİRİNCİ BÂB · ÜÇÜNCÜ FASIL · Dokuzuncu Madde
Dokuzuncu Madde
Sayıların cezrinin (karekökü) ve kesirlerinin hesaplaması ve sonuç
çıkarmanın en kolay yolunu bildirir.
Ey azîz! Bilinmelidir ki aritmetik bilginleri şöyle demişlerdir: Eğer
istenilen sayı küçük ve muntak bir sayı olursa onun karekökünün alınması
kolay olur. Mesela: 4’ün karekökü 2, 9’un karekökü 3, 16’nın karekökü 4,
25’in karekökü 5, 36’nın karekökü 6, 49’un karekökü 7, 64’ün karekökü 8,
81’in karekökü 9 ve 100’ün karekökü 10’dur. Bunların hepsi de muntak
sayılardır. Onun için karekökleri de tam sayıdır. Eğer verilen sayı esamm
sayı olup karekökü tam sayı olmasa, onun karekökünü bulmanın en kolay
yolu şudur:
Söz konusu esamm sayının kendinden önceki karekökü alınabilen tam
sayıyı karekökü alınmak istenen sayıdan çıkartıp kalan sayı ile karekökü
alınabilen sayının kareköküne oranlarsın. Bu oranlama ile çıkarılan kakekök
yaklaşık o esamm sayının karekökü olur.
Mesela 5’in karekökü alınmak istenirse şöyle yapılır: 5’in hemen
öncesinde karekökü alınabilen 4’ü o sayıdan çıkarırsın, geriye 1 kalır, bu
sayı paydır. Bu sayıyı 4 sayısının karekökünün iki katına 1 ilâve edip 5 elde
edersin Bu elde edelin sayı paydadır. Bu durumda 5’in karekökü 2 tam 1/5
(iki tam sayı ve beşte bir) olur.
6 sayısına karekökü alınabilen en yakın sayı 4’tür. Onu 6’dan çıkarırsan
geriye 2 kalır, bu sayı paydır. Çıkan 2 sayısını 4’ün karekökü olan 2’nin iki
katına 1 ekleyip aynı şekilde 5 sayısı elde edilir. Yine bu sayı paydadır. Bu
durumda 6’nın karekökü, 2 tam 2/5 olur. Bu kıyas ile 7’nin karekökü 2 tam
3/5, 8’in karekökü 2 tam 4/5’tir.
Çünkü bu esamm sayılara karekökü alınabilen en yakın sayı 4’tür. Ancak
10’un karekökü alınmak istenirse, ona en yakın karekökü alınabilir sayı
9’dur. 9’u 10’dan çıkartırsan geriye 1 kalır, bu sayı paydır. Bu sayıyı 9’un
karekökünün iki katına ekleyip 7 elde edersin.
Bu sayı paydadır. Bu durumda 10 sayısının karekökü 3 tam 1/7’dir.
10’dan büyük sayılar için her sayı değeri için 1/7 ilâve ederek karekökü
bulmaya devam edersin. 15’in karekökü ise 3 tam 6/7 olarak bulunur [10 ile
15 arasında 5 sayı vardır. 1/7’ye beş tane daha 1/7 ilâve edilir; 6/7 bulunur].
16 sayısının karekökünü almak istersen [bir tane daha 1/7 ekleyip] 7/7
olur; bu da bir tam sayı ettiğine göre 16 sayısının karekökü, tam sayı olan 4
olur. Diğer sayıları ve kareköklerini bunlara mukayese ederek aynı
yöntemle bulabiliriz.
Kesirli sayıların hesaplanması: 1’in dışında olan iki sayı birbirine eşitse
buna mütemasil denir. Eğer iki sayıdan küçük olanı büyük olanı tam
bölüyorsa bu sayı mütedahildir (büyük sayı küçük sayının tam katı). [436]
Eğer iki sayıyı üçüncü bir sayı sadeleştirebiliyorsa bu iki sayıya
mütevafık sayılar denir. [437] Bu üçüncü sayıya bölününce çıkan sonuç, bu
kesrin en sâde biçimidir.
İki sayının 1’in dışında ortak böleni yoksa yani aralarında asal ise bu iki
[438] Mütemasil olan sayılar âşikârdır. Ancak
sayı mütebayin’ dir.
diğerlerinde büyük sayıyı küçük sayıya bölersin. [24/b]
Kalan olmazsa bu iki sayı mütedahildir (tam katıdır). İşlem sonucu bir
kalan varsa, bu takdirde böleni kalan sayıya bölmek sûretiyle elde sayı
kalmayıncaya kadar işleme devam edersin. Bu durumdaki iki sayı
mütevafıktır. Eğer işlem sonucu 1 kalırsa bu iki sayı mütebayin’ dir.
Kesirli sayılar
Kesir ya muntaktır, yani daha önce anlatılan “küsûr-ı tis‘a”dır veya
esammdır ki buna cüz’ de denilir. Bu ikisinden her biri ya 1/3 ve 1/11 gibi
müfreddir ya 2/3 ve 2/11 gibi mükerrerdir veya 1/6’nın yarısı ve 1/13’ün
1/11’i gibi muzaftır [439] ya da yarım ve 1/3 ile 1/11 ve 1/13 gibi matuftur.
Tam sayılı kesirleri yazarken şu yolu takip edersin:
Eğer tam sayı varsa, bu sayıyı kesrin üstüne, payı onun altında ve
paydanın üstünde yazarsın.
Eğer kesirle tam sayı olmazsa onun yerine sıfır koyarsın. Matuf kesirlerde
araya “vav (+)”, muzaf olan asamm sayılarda ise araya “min (=)” yazarsın.
1 tam 2 bölü 3’ü şöyle yazarsın:
1
2 (1 2/3)
3
1 tam 1 bölü 3’ü şöyle yazarsın:
1
1 (1 1/3)
3
Tam sayısı olmayan 1 bölü 3’ü şöyle yazarsın:
0
1 (1/3)
3
6’da 5’in yarısını şöyle yazarsın:
0
1
2 (1/2 x 5/6)
5
6
2 bölü 5 ve 3 bölü 4 şu şekilde yazılır:
0 0
2
3 (2/5+3/4)
5 4
1 bölü 13’ün 1 bölü 11’ini şöyle yazarsın:
1 1
(1/13 x 1/11)
11 13
Kesrin paydasına mükam veya ümam da denir. Bu küçük sayıdan kesir
oluşur. Müfred kesrin paydası açıktır. Mükerrer kesrin de paydası aynıdır.
Mesela 4’te 1’in paydası 4’tür. 4’te 1’in iki katının paydası ile 4’te 1’in üç
katının paydaları da yine 4’tür.
Muzaf kesirlerin paydası, paydalarının birbiriyle çarpımına eşittir.
Paydalar ister mütebayin ister mütevafık veya mütedahil olsun, birbiriyle
çarpılırlar. Mesela: 5’te 1 ve 6’da 1’in ortak paydası 30’dur. 6’da 1 ve 8’de
1’in ortak paydası 48’dir. 4’te 1 ve 8’de 1’in paydası 32’dir.
Matuf kesirden iki paydayı karşılaştırırsın. Eğer mütebayin iseler
birbiriyle çarparsın veya mütevafık iseler birinin sadeleşmiş şeklini diğeri
ile çarparsın. Eğer mütedahil iseler büyük olanı payda olarak alırsın. Sonra
çarpımın sonucunu üçüncü bir kesrin paydası kabul edip bu şekilde matuf
kesirler sonuçlanıncaya kadar işleme devam edersin. Bulunan sonuç o
kesrin paydasıdır.
“Küsûr-ı tis‘a”nın paydasını bulmakta kaide şudur: Mütebâyin olan 2 ve
3’ü birbiriyle çarparsın; Bulunan sonuç 6 ile 4 mütevafık olduğu için 4’ün
yarısı ile çarparsın. Sonuç olan 12 ile 5 mütebayin olduklarından,
birbirleriyle çarparsın. 6, sonuç olarak çıkan 60’ın tam bölenidir. Bu
durumda çıkan sonuç ile yetinip bu sayı 7 ile mütebayin olduğu için onunla
çarparsın; sonuç olan 420 ile 8 mütevafık olduğu için 8’in 4’te 1’i ile
çarparsın. Yine sonuç olan 840 ile 9 mütevafık olduğu için 9’un 3’te 1 ile
çarparsın. 10 ise sonucun tam böleni olduğu için herhangi bir işlem
yapmazsın; 3 ile 840’ın çarpımı olan 2520 bu “küsûr-ı tis‘a”nın paydası
olur.
Tecnis
Tecnis, tam sayılı kesri bileşik sayılı kesre çevirmektir. Bunun yolu şudur:
Tam sayılı kesrin “tam”ını kesrin paydası ile [25/a] çarparsın; elde edilen
sonuca payı eklersin. Bulduğun sonuç bileşik kesrin paydası olur. Mesela: 2
tam 1 bölü 4’ün payı 9’dur. 6 tam 3 bölü 5’in payı 33’tür. 4 tam ile 1 bölü
7’nin 1 bölü 3’ünün payı 85’tir. [440]
Ref‘
Ref‘, kesirleri tam sayıya çevirmektir. Bunun yolu şudur: Payı
paydasından büyük olan sayıyı kendi paydasına bölersin. Bölüm tam sayılı
kesrin tamıdır. Eğer kalan olursa o paydanın payıdır. Mesela: 15 bölü 4’ün
ref’i 3 tam 3 bölü 4’dür.
Kesirlerde Toplama ve İkiye Katlama
Toplama ve iki katını alma metodu şudur: Toplaması ve iki katının
alınması istenen kesirlerin ortak paydası bulunur ve toplanan paylar ortak
paydaya bölünür. Eğer paylar paydadan büyükse, bölüm, sonucun tam sayılı
kısmıdır. Kalanın ortak paydaya bölümü de kesirli kısımdır.
Eğer toplanan paylar ortak paydadan küçük olursa, payları ortak paydaya
oranlarsın. Eğer toplanan paylar ortak paydaya eşitse, sonuç 1’dir.
Misal:
– 1 bölü 2, 1 bölü 3 ve 1 bölü 4’ü toplarsak, 1 tam 1 bölü 6’nın yarısı olur
(1 1/12).
– 1 bölü 6 ve 1 bölü 3’ün toplamı yarım (1/2)’dır.
– 1 bölü 2, 1 bölü 3 ve 1 bölü 6’nın toplamı 1’dir.
– 3 bölü 5’in iki katı, 1 tam 1 bölü 5’tir (1 1/5).
Kesirli sayıları ikiye bölme (tansîf-i küsûr)
Eğer kesirli sayılarda paylar çift sayı ise ikiye bölersin. Tek sayı ise
paydayı ikiye çarpıp payı ona oranlarsın, bu da bilinmektedir.
Kesirli sayılarda çıkarma (tefrîk-i küsûr)
İki payın ortak paydasını bulup birini diğerinden çıkarırsın. Kalanı ortak
paydaya oranlarsın.
Mesela, eğer 1 bölü 4’ü 1 bölü 3’ten çıkarırsan, 1 bölü 6’nın yarısı (1/12)
kalır. Çünkü ortak paydaları 12’dir. Bu 12 sayısının 1 bölü 4’ü 3, 1 bölü 3’ü
de 4’tür. 3’ü 4’ten çıkarttığında 1 kalır. Bu 1, 12’nin 1 bölü 6’sının yarısıdır
(1/12).
Kesirlerde çarpma (darb-ı küsûr)
Kesirli sayılarda çarpma işlemi şöyle yapılır: Tam sayılı kesir ya da tam
sayılı olmayan kesir bir tam sayı ile çarpılıyorsa tam sayılı kesir bileşik
kesre çevrilir, tam sayı ve bu bileşik kesrin payı çarpılır. Çarpım sonucu
paydadan büyük ve eşitse, elde edilen sonuç kesrin paydasına bölünür; eğer
değilse sonucu paydaya oranlarsın.
Mesela 2 tam 3 bölü 5, 4 ile çarpılırsa 52 elde edilir; bu sayı kesrin
paydası olan 5’e bölünür. Çarpmanın sonucu 10 tam 2 bölü 5 olur.
Diğer bir örnek: 3 bölü 4’ü 7 ile çarparsak sonuç 21 olur. Bu sayıyı kesrin
paydası olan 4’e bölersek sonuç 5 tam 1 bölü 4 olur.
Çarpılan sayıların her ikisi de kesirli olur ve tam sayı ikisinde ya da
birinde bulunursa yahut da her ikisi de tam sayılı kesir değil ise (bileşik
kesre çevrilmiş kesrin) paylarını birbirine çarparsın ya da bileşik kesre
çevrilmiş kesrin payını tam sayılı olmayan kesrin payı ile çarparsın yahut da
tam sayıl olmayan kesirlerin paylarını birbiriyle çarparsın. Bu, ilk sonuçtur.
Sonra paydayı payda ile çarparsın; bu ikinci sonuçtur. Sonra da ilk sonucu
(payların çarpımından elde edilen sonuç) ikinciye (paydaların çarpımından
elde edilen sonuç) bölersin. Birinci ikinciden fazla ise pay paydaya bölünür;
ikinciden küçükse çıkan sonuç istenen sonuçtur.
Örnek: 2 tam 1 bölü 2’yi 3 tam 1 bölü 3’e çarparsın. 8 tam 1 bölü 3 elde
edilir.
2 tam 1 bölü 4’ü 5 bölü 6’ya çarparsın; 1 tam 7 bölü 8 elde edilir.
3 bölü 4’ü 5 bölü 7’ye çarparsın; Yarım ve 1 bölü 7’nin 1 bölü 4’ü elde
edilir.
Kesirlerde bölme (kısmet-i küsûr)
Bölme sekiz kısımdır. Bölünen ya tamsayı ya kesirdir. [25/b] veya tam
sayılı kesirdir. Bölen ise ya tam sayıdır ya kesirdir ya da tam sayılı kesirdir.
Bunlarla dokuz sınıf bölme işlemi yapılabilir. Bu dokuz sınıftan tam sayıyı
tam sayıya bölme işlemini dışarıda tutarsak sekiz sınıf bölme kalır.
Bölme işlemi şöyledir: Bölünen ile bölen kesirli sayı ise, her ikisini ortak
paydaya çarparsın. Eğer biri kesir diğeri tam sayı ise, bölüneni ve böleni
mevcut kesirli sayının paydasına çarparsın, sonra fazla ise çarpımları
birbirine bölersin; eksik ise bölenin sonucuna oranlarsın.
5 tam 1 bölü 4’ü 3’e bölersek 1 tam 3 bölü 4 olur. Bu işlemin tersinden
yani 3’i 5 tam 1 bölü 4’e bölecek olursak sonuç 4 bölü 7 olur.
2 bölü 6’yı 1 bölü 6’ya bölersek sonuç 2’dir. Diğer örnekler de bunlara
kıyas edilerek bilinebileceğinden bu kadar misalle yetinilmiştir.